División de números enteros

Usemos los productos vistos en la entrada anterior.

(+5).(+3) = +15

(+5).(-3) = -15
(-5) . (+3) = -15

(-5) . (-3) = +15

En cada caso vamos a realizar un pasaje de términos, pasemos el primer factor al otro lado de la igualdad dividiendo, entonces nos queda:

+3 = (+15):(+5)

-3 = (-15):(+5)

+3 = (-15):(-5)

-3 = (+15):(-5)

Observemos que la regla de los signos es la misma que para la multiplicación.

• Para dividir dos números enteros, dividimos los valores absolutos de los mismos y el cociente sigue la siguiente regla:
  Es positivo si los números enteros tenían el mismo signo.
  Es negativo si los números enteros tenían distinto signo.

Multiplicación de enteros

Usemos el movimiento imaginario de una tortuga.

-----|---------|---------|---------|---------|---------|---------|------

       -15          -10           -5              0            +5          +10          +15       

Ubicación: Positiva a la derecha del cero, negativa a la izquierda.

Velocidad: Positiva si se mueve a la derecha, negativa a la izquierda.

Tiempo: Considerando el cero como un tiempo determinado, positivo después de ese momento, negativo antes.

• Si la tortuga se encuentra ubicada en 0 m y se mueve a una velocidad de 5 m/min hacia la derecha, ¿dónde se encontrará después de 3 min?
  
  Se encontrará 15 metros a derecha.
  
  (+5).(+3) = +15 
  
  
• Si la tortuga se encuentra en 0 m y se viene moviendo hacia la derecha a 5 m/min hacia la derecha, ¿dónde se encontraba hace 3 min?
  
  Se encontraba 15 metros a la izquierda.
  
  (+5).(-3) = -15
  
  
• Si la tortuga se encuentra ubicada en 0 m y se mueve a una velocidad de 5 m/min hacia la izquierda, ¿dónde se encontrará después de 3 min?
  
  Se encontrará 15 metros a la izquierda.
  
  (-5).(+3) = +15
  
  
• Si la tortuga se encuentra ubicada en 0 m y viene moviéndose hacia la izquierda a 5 m/min, ¿donde se encontraba hace 3 min?
  
  Se encontraba 15 metros a la derecha.
  
  (-5).(-3) = -15

Sacando algunas conclusiones del ejemplo, encontramos:

Para multiplicar dos números enteros debemos multiplicar sus valores absolutos y el signo del producto sigue la siguientes regla:

+ . + = +

+ . - = -

- . + = -

- .  - = +

Podemos resumir las reglas:

• El producto de dos números enteros de igual signo siempre es positivo.
• El producto de dos números enteros de distintos signo siempre es negativo.

Números enteros - Resta

• Para restar dos números enteros, sumamos al primer número el opuesto del segundo:
  

+5 - (+6) = +5 + (-6) =+5 -6 = -1

-4 - (-8) = -4 + 8 = +4

Resuelva las siguientes situaciones con una operación entre números enteros:

1. ¿Cuál es la distancia entre 5 y -9?
2. ¿Cuál es la distancia entre -11 y -20?
3. La temperatura es de -5°C y descendió 4°C. ¿Cuál es la temperatura final?
4. En la primera jugada tenía 12 puntos a favor, en la segunda jugada perdí 20 puntos, ¿qué puntaje obtuve en en total?
5. ¿Qué número precede a 6 en 10 unidades?
6. ¿Qué número precede a -8 en 7 unidades?

Números enteros - Suma

Hemos trabajado la suma de números enteros con situaciones de ganancia y pérdida de puntos, con situaciones de dinero a favor o deudas, etc. Si te resulta conveniente puedes utilizar las siguientes reglas para sumar dos números enteros.

• Para sumar dos números enteros de igual signo, sumamos sus valores absolutos y el signo del resultado coincide con el signo de los dos.

+5 + (+4) = +9

-11+(-23) = -34

• Para sumar dos números enteros de distinto signo, restamos sus valores absolutos y el signo del resultado coincide con el signo del número que tiene mayor valor absoluto.

+12 + (-10) = +2

+34 + (-40) = -6

Números opuestos

• Dos números enteros son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto y distinto signo.
  

-4 y +4 son números opuestos.

15 y -15 son opuestos.

Respondan:

1. ¿Cuánto da la suma de dos enteros opuestos?
2. ¿Qué número se encuentra en el medio de dos números opuestos?
3. Si la distancia entre dos números opuestos es 18, ¿cuáles son dichos números?
4. Si entre dos números opuestos existen 7 números enteros, ¿cuáles son esos números?

Valor absoluto

• Se llama valor absoluto de un número entero a la distancia entre ese número y el cero.
  

Como toda distancia es positiva o cero, el valor absoluto de un número entero es un entero no negativo.

El valor absoluto de +6 es 6 dado que la distancia de +6 a 0 es 6.

El valor absoluto de -13 es 13 dado que la distancia de -13 a 0 es 13.

El valor absoluto de 0 es cero.

El símbolo que indica el valor absoluto de un número entero a es:

 

Los ejemplos anteriores en símbolos quedarían así:

Los números enteros

Los números enteros incluyen a los números naturales, los opuestos a los números naturales y el cero. Con los números enteros se pueden resolver situaciones más diversas que con los números naturales. Es importante conocerlos, saber ordenarlos, ubicarlos en la recta numérica y aprender a operar con ellos.



Importante:

Características de los números enteros:

• Son infinitos.
• No existe primer ni último número entero.
• Son discretos, entre dos números enteros existe una cantidad "finita" de números enteros.

Los números enteros en la recta numérica:

Los números enteros se representan en la recta numérica con la siguiente convención, a la derecha del cero en orden creciente se ubican los números enteros positivos, a la izquierda del cero en orden decreciente se ubican los números enteros negativos.

Resuelva las siguientes situaciones utilizando números negativos:

1. ¿En una ciudad la temperatura era de 3°C más tarde descendió 10°C y finalmente subió 3°C. ¿Cuál fue la temperatura final en la ciudad?
2. Tengo una deuda de $159 y pagué $120. ¿Cuál es el saldo final?
3. Representen en la recta numérica los números -5 y +4. 
   ¿Cuál es la distancia entre ellos?
   ¿Cuántos números enteros hay entre ellos?
   ¿Cuál es menor?
   ¿Cuál tiene mayor valor absoluto y por qué?
4. ¿Cuántos años transcurrienron entre -256 y -120?